本篇在講什麼：
ABC紙張比例的由來，黃金比例與費氏數列的性質。希望以圖像化的方式，讓讀者具體的了解一些「特殊比例」的性質。
前言、為什麼寫這篇文章
小時候常常在想，是否存在一種矩形，將它對折後，長和寬仍然是相同的比例。最早想到這個問題，是在畫圖的時候，因為覺得畫紙太大所以將它折半，但竟然發現，折半後的畫紙長寬比例跟原本的十分相似。這還滿神奇的，我們一般看到的矩形，你將它長邊對折後，長寬比例不會相同，例如2:1的矩形，將長邊對折後變成了1:1的正方形，跟原先的比例不同。我也想過2:3，3:4，但是試來試去都找不出心目中「完美」的那個比例，直至國中二上學了解一元二次式，才終於解出這個神秘的比例。
希望能藉由筆者計算的心路歷程，讓讀者了解A4紙張的比例、黃金比例的意義，並利用圖像的方式讓大家了解費氏數列與黃金比例的關係。
一、永遠的一半 A4紙張比例
正如同前言所述，我一直在尋找一種矩形，無論對半多少次，它長寬的比例仍然不變。
讓我們先來想像一下，今天有一個長方形，它的寬，為了方便我們將它設為1，而它的長不知道，我們就稱之為x好了，現在，還未經過對折的這個長方形他的長寬比例就是x:1，那當我們將它對折了，原本的寬，也就是1，就變得比x/2要長，於是1成為長，x/2成為寬，它的長寬比例就變成1:x/2。而由於我們定義這個長方形在對折後長寬比例不變，因此x : 1 = 1 : x/2，經過化簡後就可以得到 x的平方 = 2，這樣答案就出來了，x = 2 ^ 0.5，很抱歉我打不出根號，所以我使用^0.5代替（^為次方符號)，0.5次方就是根號的意思。
那這個無論切半幾次都一樣的比例到底有什麼作用？看我的標題你或許已經猜到了，我們現今使用的紙張比例A、B、C系列其實都是以1:根號2定義的的，我們以A系列進行舉例，A0就是面積為1平方公尺，長寬比例為1:根號2的紙張，即是841x1189毫米，那A1就是將A0對半切，也就是594x841毫米。
其實我們可以從另一個角度想 根號2 這個數字的特性，一個邊長為1的直角三角形它的斜邊長度就是 根號2 （計算方式見畢氏定理），那我們今天把這個三角形從斜邊的一半切出兩個等大的小三角形，你會發現，這兩個小三角形都會是直角三角形，而且邊長比仍然是1: 1: 根號2，將舊的斜邊一半作為邊長，而原先的邊長則變為新的斜邊，如此的規律不正如我們那不停對半的矩形嗎？
二、並不費事的費氏數列
先幫大家複習一下「費氏數列」，我個人認為這很有意思，隨堂考：請找出下方數列的規律
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
看出來了嗎？這應該很好找吧？每一個數都是前面兩項的總和，舉例8這個數，它就是前面兩項3和5的總和，這就是費氏數列的定義，非常的簡單。這邊先稍稍給大家有個認識就好，如果有興趣的話在自己去查喔！
特別的是，費氏數列可以透過圖像表示，就會看到一個由正方形組成的矩形，而且每一個正方形的邊長都是較小的兩個正方形邊長的總和。
三、最美的矩形 黃金比例
不知道大家有沒有聽過「黃金比例」的大名，就是那個1.618的不知道什麼東西，然後好像人的五官是那個比例就會很漂亮。但大家有沒有想過，1.618這個數字是怎麼算出來的？要想計算出黃金比例，我們得先了解它「到底在幹嘛？」。
假設今天有一個矩形，他的寬是1，長是x，而我們將這個這個矩形減去邊長是寬的正方形，可以分成1*1 + 1*(x-1)，也就是一個邊長為1的正方形和一個長寬分別為1和x-1的矩形，重點來了，這個被切開後的矩型它的長寬比例會等於原本的矩形！當這個矩形滿足上述特性，我們就稱這個矩形的長寬比例為黃金比例。
不知道你有沒有發現，這裡又提到「相同的長寬比例」，所以我們要計算時，可以搬出第一段所提到的算式，再加以修改。我們剛才的算式是 長 : 寬 = 新長 : 新寬，那長是x寬是1，新的長是1寬則是x – 1，把數字填入，即可得到
x : 1 = 1 : (x-1)
接下來就是解方程式了，化簡之後可以得到x2 -x -1 = 0，我想應該不用考慮十字交乘法了，這絕對算不出來，所以我直接就帶一元二次方程解公式(-b + (b2 – 4ac)^0.5)/2a，抱歉寫的有點醜，不過在此我就不解釋這個公式的由來囉！帶入數字後可以得出x = (1 + 5^0.5) / 2，經電腦計算結果為1.6180339，這個數字...沒錯，就是那大名鼎鼎的黃金比例啦！
現在我們來觀察一下前面費氏數列與黃金比例的圖形，你會發現它們兩個都是由大大小小的正方形組成的，而且每個大正方形的邊長都是前面兩個小正方形邊長的總和，欸？這不就是費氏數列的定義嗎？發現了嗎？黃金比例和費氏數列的圖形是一樣的！事實上黃金比例就是費氏數列在計算到極大值後所求出的比值。
後記：
今天的文章就到這邊囉！這篇文章算是我自己研究數學的心得兼筆記，親筆計算出方程式，親手畫出一張張圖，所帶來的成就感與樂趣是多麼的大，當時在學校裡自己計算，算出這個數字令我興奮的大叫，自己探索數學的奧秘實在是件非常有趣的事，讓我有像是寫程式一般的樂趣。
參考資料：
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